微分積分 (共立講座 21世紀の数学)

微分積分 (共立講座 21世紀の数学)の詳細

高校数学の論理的問題点を指摘しつつ, 如何に計算をするかは留保する. なぜ論理的に微分積分を再構築してゆく必要があるかを説いて, 実数全体の集合を「四則演算ができて大小関係があり連続性のある集合」であると存在を認めてから論理展開する. すなわち解析学を実数論から始めている. 実数論から始める本や実数論が書いてある微分積分の本は多くない.初めて大学数学を学ぶ人のためにも, 言葉づかいに気を配り, 考え方と記号の使い方や定義と定理に適宜コメントしていく. 図説が有ると理解が進む箇所や, 無いと理解しにくい箇所には, 必ず図説が有る. 行間も少なく, 論理的精確性を重視しながらも, 感覚的な説明を省かず, 読みやすい. 証明はきれいなものが多い. 語り口もやさしい. ε-論法については, 「わかっている人は飛ばしてかまわない」ことまで詳しく説明してくれている.理論上不可欠な, 正数のn乗根の存在証明と, 実数をn乗してn!で割ってnを無限に大きくした極限は0であるという公式の証明は, ２回も行っている. ２つ目の独特な証明は面白かった. ただリーマン和の存在証明は飛ばしても先に進むには差し支え無い.「一様収束しなくても項別積分が可能な場合があることを論理的に保証する」アルツェラの定理も紹介してあるのは珍しい. 多変数の微分積分も含めて, 初歩は過不足なく書いてあると思う.或るページで実軸上の関数sin(x)/xの[0, ∞)での積分(値＝π/2)についての, 著者と彼の友人の学部生(物理学科)時代の議論を顧みた思い出が書かれてあって, しかもそれが内容の理解に役立つ. ここも独創性があり面白い.log, sin, cos を積分で定義している. 微分積分の本としてはかなり貴重で他に無いだろう. 積分による定義は以前から面白いと感じていた. exp は log の逆関数とされる. きちんと理論的に知りたかったので, 読んでいてとても楽しかった. 他の本では私が見た限り,「解析概論」以外だと, 触れられている程度か対数関数と三角関数のどちらかしかない.微分方程式と数値計算についても, 初学者のため或いは微分積分の背景として, 学びたい人を意識していると感じる.これほどていねいで特徴的な解析学の入門書は他にはないと思う.